DITRIBUSI BINOMIAL, DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI POISSON, DISTRIBUSI SAMPLING, STATISTIK PENDUGA

 

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James Bernoulli) adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat, kepala- ekor dll.

Ciri-ciri distribusi Binomial adalah sbb :

1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-1. Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses-

gagal.

2. Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap

percobaan.

3. Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan

tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya.

4. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan

binomial harus tertentu.

 

Rumus Distribusi Binomial

a). Rumus binomial suatu peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa dapat dihitung dengan mengalikan kombinasi susunan dengan probabilitas salah satu susunan. Berdasarkan hal tersebut, secara umum rumus dari probabilitas binomial suatu peristiwa dituliskan :

b). Probabilitas binomial kumulatif

Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses. Probabilitas binomial kumulatif dapat dihitung dengan  menggunakan rumus :

Contoh :

Sebuah dadu dilemparkan keatas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari

peristiwa berikut :

a). Mata dadu 5 muncul 1 kali

b). Mata dadu genap muncul  2 kali

c). Mata dadu 2 atau 6 muncul sebanyak 4 kali.

Penyelesaian :

a). Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap sisi memiliki  probabilitas 1/6. Jadi, probabilitas untuk mata 1 adalah 1/6, sehigga :

b). Mata dadu genap ada 3, yaitu 2,4, dan 6, sehingga :

c). Muncul mata dadu 2 atau 6 sebanyak 4 kali, sehngga :

 

Distribusi Normal

Distribusi Normal adalah salah satu distribusi teoritis dari variable random kontinu. Distribusi Normal sering disebut distribusi Gauss. Distribusi Normal memiliki bentuk fungsi sebagai berikut :

Keterangan :

X = nilai data µ = rata-rata x

π = 3,14

e = 2,71828

σ = Simpangan baku

Karakteristik Distribusi Normal:

Distribusi probabilitas normal dan kurva normal yangmenyertainya memiliki beberapa karakteristik sebagai berikut :

1. Kurva normal berbentuk lonceng

2. Simetris

3. Asimtotis 3. Asimtotis

 

KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL

1. Kurva berbentuk genta (µ= Md= Mo)

2. Kurva berbentuk simetris

3. Kurva normal berbentuk asimptotis

4. Kurva mencapai puncak pada saat X= µ

5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai

tengah dan ½ di sisi kiri.

 

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi kurva normal dengan µ sama dan σ berbeda

Distribusi kurva normal dengan µ berbeda dan σ sama

Distribusi kurva normal dengan µ dan σ berbeda

 

Grafik kurva normal :

P(x≤µ) = 0,5

P(x≥µ) = 0,5    Luas kurva normal :

Luas kurva normal antara x=a & x=b  =>   probabilitas x terletak antara a dan b

 

Distribusi Poisson

Distribusi poisson adalah

  • Distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskret), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu.
  • Distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir.

CIRI-CIRI DISTRIBUSI POISSON

  •  Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah.
  •   Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang interval waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar interval waktu atau daerah tersebut.

Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval waktu yang singkat atau dalam daerah yang kecil dapat diabaikan. Selain itu, Distribusi poisson banyak digunakan dalam hal berikut:

Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu, seperti menghitung probabilitas dari:

  •  Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan,
  •  Banyaknya bakteri dalam satu tetes atau 1 liter air,
  • Banyaknya kesalahan ketik per halaman sebuah buku, dan
  •  Banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama minggu pertama bulan Oktober.
  •   Menghitung distribusi binomial apabila n besar (n ³ 30) dan p kecil (p <>
  •   Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05.

Rumus pendekatannya adalah :

P ( x ; μ ) = e – μ . μ X

X ! Dimana : e = 2.71828

μ = rata – ratakeberhasilan = n . p

x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel

= Jumlah / ukuran populasi

p = probabilitas kelas sukses

 

Apabila nilai harapan kejadian pada suatu interval adalah \lambda, maka probabilitas terjadi peristiwa sebanyak k kali (k adalah bilangan bulat non negatif, k = 0, 1, 2, …) maka sama dengan

dimana

e adalah basis logaritma natural (e = 2.71828…)

k adalah jumlah kejadian suatu peristiwa  — peluang yang diberikan oleh fungsi ini

k! adalah faktorial dari k

λ adalah bilangan riil positif, sama dengan nilai harapan peristiwa yang terjadi dalam interval tertentu. Misalnya, peristiwa yang terjadi rata-rata 4 kali per menit, dan akan dicari probabilitas terjadi peristiwa k kali dalam interval 10 menit, digunakan distribusi poisson sebagai model dengan λ = 10×4 = 40.

Sebagai fungsi k, ini disebut fungsi massa probabilitas. The Distribusi poisson dapat diturunkan sebagai kasus terbatas distribusi binomial. Distribusi poisson dapat diterapkan pada sistem dengan kejadian berjumlah besar yang yang mungkin terjadi, yang mana kenyataannya cukup jarang. Contoh klasik adalah peluruhan nuklir atom.

Sumbu aksis adalah indeks k. Fungsi ini hanya didefinisikan untuk bilangan bulat k. Garis penghubung hanya ilustrasi untuk memudahkan.

Fungsi distribusi kumulatif

Sumbu aksis adalah indeks k. Fungsi Distribusi Kumulatif diskontinyu pada bilangan bulat k dan lainnya datar, karena variabel yang digunakan adalah bilangan bulat.

 

Contoh Soal

Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.

Jawaban:

Dik : n = 200, P = 0.01, X = 3, μ = n . p = 200 . 0.01                                                = 2

P ( x ; μ ) = e – μ . μ X

X!

= 2.71828 – 2 . 2 3 = 0.1804 atau 18.04 %

3!

 

 

Distribusi Sampling

  • Bidang Inferensia Statistik membahas generalisasi/penarikan kesimpulan dan prediksi/ peramalan. Generalisasi dan prediksi tersebut melibatkan sampel/contoh, sangat jarang menyangkut populasi.
  • Sensus = pendataan setiap  anggota populasi
  • Sampling = pendataan sebagian anggota populasi = penarikan contoh = pengambilan sampel
  • Pekerjaan yang melibatkan populasi tidak digunakan, karena:

1. mahal dari segi biaya dan waktu yang panjang

2. populasi akan menjadi rusak atau habis jika disensus

misal :  dari populasi donat ingin diketahui rasanya, jika semua

donat dimakan, dan donat tidak tersisa, tidak ada yang dijual?

  • Sampel yang baik     ®      Sampel yang representatif

Beda antara Statistik Sampel Vs Parameter Populasi? perhatikan tabel berikut:

Ukuran/Ciri Parameter Populasi Statistik Sampel
Rata-Rata m : myu
Selisih 2 Rata-rata  : nilai mutlak   : nilai mutlak
Standar Deviasi = Simpangan Baku s : sigma S
Varians = Ragam
Proporsi p : phi atau p
Selisih 2 proporsi  : nilai mutlak  : nilai mutlak
  • Beberapa Teknik Penarikan Sampel :

a. Penarikan Sampel Acak Sederhana (Simple Randomized Sampling)

Pengacakan dapat dilakukan dengan : undian, tabel bilangan acak, program komputer.

b. Penarikan Sampel Sistematik (Systematic Sampling)

Tetapkan interval lalu  pilih secara acak anggota pertama sampel

c. Penarikan Sampel Acak Berlapis (Stratified Random Sampling)

Populasi terdiri dari beberapa kelas/kelompok. Dari setiap kelas diambil sampel secara acak.

d.  Penarikan Sampel Gerombol/Kelompok (Cluster Sampling)

Populasi juga terdiri dari beberapa kelas/kelompok

Sampel yang diambil berupa kelompok bukan individu anggota

e.         Penarikan Sampel Area (Area Sampling)

Prinsipnya sama dengan Cluster Sampling.

Pengelompokan ditentukan oleh letak geografis atau administrative

Distribusi  Penarikan Sampel = Distribusi Sampling

  • Jumlah Sampel Acak yang dapat ditarik dari suatu populasi adalah sangat banyak.
  • Nilai setiap Statistik Sampel akan bervariasi/beragam antar sampel.
  • Suatu statistik dapat dianggap sebagai peubah acak yang besarnya sangat tergantung dari sampel  yang kita ambil.
  • Karena statistik sampel adalah peubah acak maka ia mempunyai distribusi yang kita sebut sebagai : Distribusi peluang statistik sampel = Distribusi Sampling = Distribusi Penarikan Sampel

Distribusi Sampling Rata-Rata

Distribusi Rata-rata akan mendekati distribusi Normal dengan :

 

Statistik Penduga

Pendugaan Titik dan Interval

Pendugaan/Penaksiran  adalah  menyimpulkan  parameter  populasi  berdasarkan

statistik sampel.

Misal : menduga rata-rata populasi   berdasarkan rata-rata sampel.

Penduga yang baik ialah penduga yang tak bias dan bervarians minimum

•  Tak bias

Penaksir  Ӧ    dikatakan  tak  bias  jika  rata-rata  harga  dari  Ӧ    yang  mungkin  sama dengan   θ

•  Bervarians minimum

Penduga Ӧ   dikatakan  bervarians  minimum  jika  Ӧ   mempunyai  varians  terkecil diantara semua penduga yang mungkin untuk parameter yang sama θ

 

Cara Menduga

1.  Penduga titik

Jika parameter diduga oleh 1 angka tunggal

Misal :  µ   ditaksir oleh  x, dimana x  adalah penduga titik

2.  Penduga interval

Jika parameter diduga oleh harga diantara batas-batas dua harga

Misal : jika rata-rata sampel tinggi mahasiswa adalah 160 cm, maka rata-rat

populasi bisa antara 155-165, seperti pada gambar berikut :

atau bisa antara 150-170, seperti pada gambar berikut

Makin  besar  interval  taksiran  akan  lebih  besar  keyakinan  benarnya,  semakin kecil  interval  taksiran  akan  lebih  kecil  keyakinan  benarnya.  Tetapi,  semakin kecil interval, semakin baik. Kita  akan  membuat  interval  yang  sekecil  mungkin  tapi  dengan  tingkat keyakinan  benarnya  sebesar  mungkin,  atau  tingkat  keyakinannya  sebesar mungkin. Tingkat  keyakinan  dinotasikan  dengan ɣ dan  dinyatakan  dalam  bentuk peluang

Artinya kita yakin   bahwa nilai   akan berada antara A dan B

 

sumber:

http://tety.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/7551/Sampling.doc

http://pianhervian.files.wordpress.com/2010/12/distribusi-teoritis.pdf

http://www.informatika.unsyiah.ac.id/subianto/kuliah/INF201/distNormal.pdf

http://thomasyg.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/8191/Distribusi+Sampling.pdf

http://baniadams.files.wordpress.com/2011/10/distribusi-probabilitas-diskrit-poisson.pptx

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s